Định lý nhị thức và Nhị thức newton

Admin 17:09 21-12-2019 216

Định lý nhị thức

Một nhị thức là một đa thức có hai số hạng

Nhị thức
ví dụ về nhị thức

 

Điều gì xảy ra khi chúng ta nhân một nhị thức với chính nó ... nhiều lần?

Ví dụ: a + b

a + b là nhị thức (hai số hạng là a và b )

Chúng ta hãy nhân a + b bằng cách sử dụng Phép nhân đa thức :

(a + b) (a + b) = a 2 + 2ab + b 2

Bây giờ lấy kết quả đó và nhân với a + b lần nữa:

(a 2 + 2ab + b 2 ) (a + b) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Và một lần nữa:

(a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ) (a + b) = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

Các tính toán ngày càng dài hơn khi chúng ta nhân, Nhưng chúng ta có một khác hữu hiệu hơn.

Mô hình đó được tóm tắt bởi Định lý nhị thức sau:

Định lý nhị thức
Định lý nhị thức

Chúng ta sẽ xem giải thích bên dưới để hiểu về nó hơn.

Và bạn sẽ học được rất nhiều phép tính toán học thú vị bên dưới.

Số mũ

8 đến sức mạnh 2

Đầu tiên, một bản tóm tắt nhanh chóng về số mũ .

Một số mũ cho biết bao nhiêu lần để sử dụng một cái gì đó trong một phép nhân.

Ví dụ: 8 2 = 8 × 8 = 64

Số mũ của 1 có nghĩa là chỉ cần xuất hiện một lần, vì vậy chúng tôi nhận được giá trị ban đầu:

Ví dụ: 8 1 = 8

Số mũ bằng 0 có nghĩa là hoàn toàn không sử dụng và chúng tôi chỉ có 1:

Ví dụ: 8 0 = 1

Số mũ của (a + b)

Bây giờ đến nhị thức.

Chúng ta sẽ sử dụng nhị thức đơn giản a + b , nhưng nó cũng có thể là bất kỳ nhị thức nào.

Chúng ta hãy bắt đầu với số mũ bằng 0 và xây dựng lên.

Số mũ của 0

Khi số mũ bằng 0, chúng tôi nhận được 1 :

(a + b) 0 = 1

Số mũ của 1

Khi số mũ là 1, chúng ta sẽ nhận được giá trị ban đầu, không thay đổi:

(a + b) 1 = a + b

Số mũ của 2

Số mũ của 2 có nghĩa là nhân với chính nó (xem cách nhân đa thức ):

(a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + 2ab + b 2

Số mũ của 3

Đối với số mũ của 3 chỉ cần nhân lại:

(a + b) 3 = (a 2 + 2ab + b 2 ) (a + b) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Bây giờ chúng ta có đủ để bắt đầu nói về mô hình.

Trong kết quả cuối cùng, chúng tôi đã nhận được:

3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Bây giờ, hãy chú ý số mũ của a . Họ bắt đầu lúc 3 và đi xuống: 3, 2, 1, 0:

đi 3,2,1,0

Tương tự, số mũ của b đi lên: 0, 1, 2, 3:

b đi 0,1,2,3

Nếu chúng ta đánh số điều kiện từ 0 đến n , chúng ta sẽ nhận được điều này:

k = 0 k = 1 k = 2 k = 3
3 2 a 1
1 b 2 3

Mà có thể được kết hợp vào đây:

n-k b k

Làm thế nào về một ví dụ để xem làm thế nào nó hoạt động:

Ví dụ: Khi số mũ, n , là 3.

Các điều kiện là:

k = 0: k = 1: k = 2: k = 3:
 a n-k b k
= a 3-0 b 0
= a 3
 a n-k b k
= a 3-1 b 1
= a 2 b
  a n-k b k
= a 3-2 b 2
= ab 2
  a n-k b k
= a 3-3 b 3
= b 3

Nó hoạt động như ma thuật!

Hệ số

Cho đến nay chúng ta có:

3 + a 2 b + ab 2 + b 3

Nhưng chúng ta thực sự cần:

3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Chúng ta đang thiếu các số (được gọi là hệ số ).

Hãy xem tất cả các kết quả chúng ta nhận được trước đó, từ (a + b) 0 cho đến (a + b) 3 :

1, a + b, a ^ 2 + 2ab + b ^ 2, a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3

Và bây giờ hãy xem xét các hệ số (với "1" trong đó hệ số không được hiển thị):

1, 1 1, 1 2 1, 1 3 3 1

Họ thực sự tạo ra Tam giác của Pascal !

Mỗi số chỉ là hai số ở trên được cộng lại với nhau (ngoại trừ các cạnh, tất cả đều là "1")

(Ở đây tôi đã nhấn mạnh rằng 1 + 3 = 4)

tam giác

Chúng ta hãy thử một cái gì đó mới ... số mũ của 4 :

một số mũ đi 4,3,2,1,0:   một 4 + một 3 + một 2 + một + 1  
b số mũ đi 0,1,2,3,4:   một 4 + một 3 b + 2 b 2 + ab 3 + 4  
hệ số đi 1,4,6,4,1:   một 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + 4 Đúng

Và đó là câu trả lời đúng (so với đầu trang).

Chúng ta có thành công!

Bây giờ chúng ta có thể sử dụng mô hình đó cho các số mũ của 5, 6, 7, ... 50, ... 112, ... bạn đặt tên cho nó!

Mô hình đó là bản chất của Định lý nhị thức.

Khi bạn quay lại xem bạn có thể tự mình giải quyết (a + b) .

Đáp án là :  a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5

Công Thức

Nhiệm vụ tiếp theo của chúng ta là viết tất cả như một công thức.

Chúng ta đã có số mũ đã tìm ra:

n-k b k

Nhưng làm thế nào để chúng ta viết một công thức cho "tìm hệ số từ Tam giác Pascal" ...?

Vâng, có là một công thức như vậy:

nhị thức n chọn k = n!  / k! (nk)!

Nó thường được gọi là "n chọn k" bởi vì có bao nhiêu cách để chọn k phần tử từ một tập hợp n.

Các "!" có nghĩa là " giai thừa ", ví dụ 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

Bạn có thể đọc thêm tại Kết hợp và Hoán vị .

Và nó khớp với Tam giác của Pascal như thế này:

(Lưu ý cách hàng trên cùng là hàng 0
và cột ngoài cùng bên trái là 0!)

Kết hợp tam giác Pascals

Ví dụ: Hàng 4, số 2 trong Tam giác Pascal là "6".

Hãy xem công thức hoạt động:

nhị thức 4 chọn 2 = 4!  / 2! (4-2)!

Có nó hoạt động! Hãy thử một giá trị khác cho chính mình.

Để tất cả chúng cùng nhau

Bước cuối cùng là đặt tất cả các điều khoản lại với nhau thành một công thức .

Nhưng chúng tôi đang thêm nhiều thuật ngữ cùng nhau ... điều đó có thể được thực hiện bằng một công thức không?

Đúng! Ký hiệu Sigma tiện dụng cho phép chúng tôi tổng hợp nhiều thuật ngữ như chúng tôi muốn:

Ký hiệu Sigma
Ký hiệu Sigma

Bây giờ tất cả có thể đi vào một công thức:

Định lý nhị thức
Định lý nhị thức

Sử dụng nó

OK ... nó sẽ không có ý nghĩa nhiều nếu không có ví dụ.

Vì vậy, hãy thử sử dụng nó cho n = 3 :

Định lý nhị thức

NHƯNG ... việc ghi nhớ các mẫu thường dễ dàng hơn nhiều :

  • Số mũ của thuật ngữ đầu tiên bắt đầu từ n và đi xuống
  • Số mũ của số hạng thứ hai bắt đầu từ 0 và tăng lên
  • Các hệ số lấy từ Tam giác của Pascal hoặc bằng cách tính bằng n! k! (nk)!

Như thế này:

Ví dụ: (y + 5) 4

 

Bắt đầu với số mũ: 4 5 0 3 5 1 2 5 2 1 5 3 0 5 4
Bao gồm các hệ số: 1 y 4 5 0 4 y 3 5 1 6 y 2 5 2 4 y 1 5 3 1 y 0 5 4

 

Sau đó viết câu trả lời (bao gồm tất cả các tính toán, chẳng hạn như 4 × 5, 6 × 5 2 , v.v.):

(y + 5) 4 = y 4 + 20y 3 + 150y 2 + 500y + 625

 

Chúng tôi cũng có thể muốn tính toán chỉ một thuật ngữ:

Ví dụ: Hệ số của x 3 trong (2x + 4) 8

Số mũ của x 3 là 8-5 (= 3) và 5 :

(2x) 3 4 5

Các hệ số là "8 chọn 5". Chúng ta có thể sử dụng Tam giác của Pascal hoặc tính toán trực tiếp:

n! k! (nk)! = 8! 5! (8-5)! = 8! 5! 3! = 8 × 7 × 6 3 × 2 × 1 = 56

Và chúng tôi nhận được:

56 (2x) 3 4 5

Mà đơn giản hóa để:

458752 x 3

Một hệ số lớn phải không?

Hình học

Định lý nhị thức có thể được hiển thị bằng Hình học:

Trong 2 chiều, (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2

 

Trong 3 chiều, (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3

 

Trong 4 chiều, (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

(Xin lỗi, tôi không giỏi vẽ 4 chiều!)

Ví dụ nâng cao

Và một ví dụ cuối cùng, tuyệt vời nhất:

Ví dụ: Công thức cho e (Số Euler)

Chúng ta có thể sử dụng Định lý Binomial để tính e (số Euler) .

e = 2.718281828459045 ... (các chữ số cứ lặp đi lặp lại mà không lặp lại)

Nó có thể được tính bằng cách sử dụng:

(1 + 1 / n) n

(Nó càng chính xác thì giá trị của n càng cao )

 

Công thức đó là một nhị thức , phải không? Vì vậy, hãy sử dụng Định lý Binomial:

(1 + 1 / n) ^ n = Sigma k = 0 đến n của [(n chọn k) bởi 1 ^ (nk) bởi (1 / n) ^ k]

Đầu tiên, chúng ta có thể giảm 1 n-k vì nó luôn bằng 1:

Sigma k = 0 đến n của [(n chọn k) bởi (1 / n) ^ k]

Và, khá kỳ diệu, hầu hết những gì còn lại sẽ chuyển sang 1 khi n đi đến vô cùng:

đơn giản hóa các bước chi tiết

Mà chỉ để lại:

Sigma k = 0 đến vô cùng 1 / k!  = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + ...

 

Chỉ với vài điều khoản đầu tiên, chúng tôi nhận được 2.7083 ...

Hãy thử tính toán nhiều thuật ngữ để có xấp xỉ tốt hơn! (Hãy thử Máy tính Sigma )

Isaac Newton

Như một lời chú thích, điều đáng nói là vào khoảng năm 1665, Ngài Isaac Newton đã đưa ra một phiên bản "chung" của công thức không giới hạn ở số mũ 0, 1, 2, .... Tôi hy vọng sẽ viết về điều đó vào một ngày nào đó.

Nguồn : tổng hợp


Cảm ơn bạn đã đánh giá
5 Sao 1 Đánh giá
Tags bài viết:

Bình luận cho "Định lý nhị thức và Nhị thức newton"

    THÔNG TIN NGƯỜI GỬI


    Các tin khác

    Maldives là ở đâu? Kinh nghiệm du lịch thiên đường biển đảo Maldives

    Maldives là ở đâu? Kinh nghiệm du lịch thiên đường biển đảo Maldives

    Maldives là địa điểm du lịch biển đảo mà rất nhiều tín đồ du lịch mơ ước, vậy bạn có biết Maldives là ở đâu và kinh nghiệm du lịch tại thiên đường biển nào này như thế nào.

    Admin 06-05-2020 00:29 84

    hình nền full hd 1920x1080

    Admin 07-01-2020 23:27 205

    Công ty Điền Quân - Ai là Giám Đốc , Ông Chủ của Điền Quân

    Công ty Điền Quân - Ai là Giám Đốc , Ông Chủ của Điền Quân

    Bạn muốn tìm hiểu về công ty điền quân , Bạn muốn biết ai là ông chủ và ai là CEO giám đốc của Điền Quân? Hãy cùng wikici tìm hiểu xem Điền Quân là ai nhé !

    Admin 18-12-2019 00:18 21662

    Hình nền girl xinh 4k full hd cho máy tính điện thoại

    Hình nền girl xinh 4k full hd cho máy tính điện thoại

    Bạn đang cần tải một bộ hình nền về Girl xinh 4k Full HD cho máy tính và điện thoại của mình , Đọc bài viết sau để tìm cho mình hình nền ưng ý nhất nhé !

    Admin 03-12-2019 14:29 1151

    Nón lá Nguyên Thủy - Nón lá Bàng trong suốt của phù thủy nón lá

    Nón lá Nguyên Thủy - Nón lá Bàng trong suốt của phù thủy nón lá

    Nón lá là rất quen thuột với người dân Việt Nam , Nhưng nón lá nguyên thủy là gì thì lại rất ít người biết được , Hãy cùng wikici tìm hiểu xem nó là gì và tại sao lá bàng lại tạo ra một tác phẩm nghệ thuật độc đáo nhé .

    Admin 02-12-2019 13:27 641

    Cách làm hoa hồng bằng giấy nhún đơn giản

    Cách làm hoa hồng bằng giấy nhún đơn giản

    Hoa hồng là loài hoa biểu tượng của tình yêu, nhưng hoa hồng tươi thì không giữ được lâu. Chính vì thế, hôm nay mình xin chia sẻ cách làm hoa hồng bằng giấy nhún đơn giản dưới đây, giúp bạn có một món quà ý nghĩa để tặng cho người mình yêu thương.

    Admin 03-05-2020 01:20 167

    12 cung hoàng đạo nữ

    Admin 22-11-2019 18:08 170

    Cách tính diện tích tam giác cân nhanh nhất

    Cách tính diện tích tam giác cân nhanh nhất

    Môn toán hình học là nổi ám ảnh không chỉ đối với học sinh mà ngay cả đối với phụ huynh học sinh. Chính vì vậy, hôm nay tôi xin chia sẻ cách tính diện tích tam giác cân nhanh nhất dưới đây, giúp bạn áp dụng vào thực tế hiệu quả hơn.

    Admin 02-05-2020 23:42 167